在前两篇文章里，长尾君介绍了麦克斯韦方程组的积分和微分形式。大家都知道麦克斯韦从这套方程组里推导出了电磁波，通过计算发现电磁波的速度正好等于光速。于是，麦克斯韦预言"光是一种电磁波"，这个预言后来被赫兹证实。
电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁理论登上科学巅峰，也让人类社会进入无线电时代。现在能够随时给远方朋友打电话，能用手机刷长尾科技的文章，都与电磁波密切相关。那么，麦克斯韦究竟如何从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程？这篇文章将带大家见证这一神奇过程。
理解波的本质
要理解电磁波，首先需要明白什么是波。有人可能觉得这个问题很奇怪，生活中随处可见水波、声波、绳子上的波动，这些不都是波吗？确实如此，但这里想探讨的是所有波动现象的共同特征，以及如何用数学语言统一描述波。
物理学研究就是从自然界各种现象中总结出规律，用数学语言定量精确地描述。既然水波、绳子上的波等现象都具有波动特征，自然要寻找这种波动现象背后的统一数学规律，也就是波动方程。
为了寻找波动方程，先来看最简单的例子：抖动一根绳子产生的波。以恒定频率抖动绳子，就会产生连续不断的波。建立坐标系后，可以观察到一个波以速度v向x轴正方向移动。
如何描述这种波动？波在不断移动，某一时刻的形状可以用函数y=f(x)表示。要描述动态的波，就需要考虑时间t，于是用二元函数y=f(x,t)描述波。但这样还不够，因为许多事物都随时间空间变化，波的特殊之处在哪里？
波的关键特征在于传播过程中形状保持不变。前一秒波是这个形状，一秒后虽然位置改变，但形状依然相同。这个特点将波与其他时空变化现象区分开来。
从数学角度看，只要函数满足f(x,t)=f(x-vt,0)，即任意时刻形状等于初始形状平移一段距离，就表示一个波。水波、声波、电磁波都符合这个描述。
波的物理成因
从物理角度看，绳子静止时没有张力，甩动时产生波动。这个波如何传到远方？手只拉动绳子一端，中间部分动起来是因为相邻点之间的相互作用力，这种力称为张力。
理想绳子处于紧绷状态时，内部存在处处相等的张力。波传到某处时，张力使绳子上的点上下振动。分析张力对绳子的影响成为理解波动的关键。
对波动中的绳子取一小段AB进行分析。根据牛顿第二定律F=ma，需要知道这段绳子受到的合外力F、质量m和加速度a。忽略绳子质量，只考虑两端张力T。
将张力分解后，AB段在竖直方向受到的合力为T·sin(θ+Δθ)-T·sinθ。假设绳子单位长度质量为μ，AB段质量为μ·Δx。加速度a可以通过波函数f(x,t)对时间求二阶偏导数得到，即a=∂²f/∂t²。
将这些量代入牛顿第二定律，经过一系列近似和化简，最终得到经典波动方程：
∂²f/∂t²=v²∂²f/∂x²
其中v=√(T/μ)是波速。这个方程告诉我们，任何满足这个关系的函数f(x,t)都描述一个波。
从麦克斯韦方程组推导电磁波
真空中的麦克斯韦方程组为：
∇·E=0
∇·B=0
∇×E=-∂B/∂t
∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t
要推导电磁波方程，需要对第三个方程两边取旋度，利用矢量三重积公式：
∇×(∇×E)=∇(∇·E)-∇²E
结合第一个方程∇·E=0和第四个方程∇×B的表达式，最终得到：
∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t²
这正是三维波动方程的形式，说明电场E以波的形式传播。同样方法可得磁场B也满足相同形式的波动方程。
电磁波的速度
比较电磁波方程和经典波动方程，可以得出电磁波速度：
v=1/√(μ₀ε₀)
计算这个值会发现它正好等于光速c。麦克斯韦在研究电磁现象时引入的常数μ₀和ε₀，原本与光无关，却在波动方程中自然出现光速，这个惊人的巧合让麦克斯韦预言光就是电磁波。
赫兹实验证实电磁波存在后，麦克斯韦理论获得巨大成功。但电磁波速度是相对哪个参考系的问题，引出了"以太"假说和后来的狭义相对论。爱因斯坦发现麦克斯韦电磁理论其实已经隐含了相对论框架，这也是它与牛顿力学冲突的根本原因。
电磁理论的建立不仅开创了无线电时代，也为相对论诞生埋下伏笔。这段科学史展示了理论物理学发展的内在逻辑，当两个成功理论出现矛盾时，往往预示着新物理的到来。正如当年电磁理论与牛顿力学的冲突催生了相对论，今天广义相对论与量子力学的矛盾也可能孕育着新的突破。
来源：长尾科技
